为什么分析正弦电路时要引入相量？

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为什么要引入相量的概念？首先，我们应该清楚，引入相量，应该是在正弦稳态电路部分里的事情吧。

一、关于正弦稳态电路

答案明显是直流稳态电路。虽然一阶动态电路和正弦稳态电路都有变化的成分，但是，一阶动态电路，更加关注直流电下换路时变化的过程；而正弦稳态电路则相反，是“变中求稳”。那么，正弦稳态电路和直流稳态电路在思维上虽然更加相近，然而我们很清楚，正弦稳态电路是由各种各样的三角函数式组合而成的，进行各种各样的三角运算会非常的麻烦与不简洁。

那么问题是，仅仅让数学计算上的繁琐成为我们探索正弦稳态电路的障碍，单纯是因为计算困难而让我们进入不了这一领域的研究，这样真的值得吗？

既然这样，如果我们可以寻找一种表示方法，可以抽象出正弦稳态电路中恒定的东西，同时将复杂的三角函数问题转化成易于计算的问题，这样不就达到我们的目的了吗？

二、探索如何抽象出这个量——相量

刚才我们说到，如果能够做到一下两点：

①抽象出正弦稳态电路中恒定的东西，即找出正弦稳态电路中足以和直流稳态电路相媲美的东西，说白了，就是找到一个量，这个量可以包含描述正弦量的所有信息（即三要素：振幅、角频率、初相位）

正弦量：

其中Fm为振幅，ω为角频率，φ为初相

②这个量得易于计算，最起码要比三角函数的计算要简便。

那么我们的目的就达成了。

大家想一想，向量，是不是一种运算起来远比三角函数运算更为简便的东西？毕竟，你可以进行坐标运算，甚至可以画个图，利用平行四边形法则就可以直观的计算出来吖！

那么，要在正弦量和向量之间的建立联系，我们是不是想到了和向量有着天然联系的复数（毕竟复数的几何意义就是复平面内的向量嘛），那么连接正弦量和复数，剩下的工具，也许只有那个欧拉给出的最美最美的公式了吧：

那么，赶紧把我们正弦量的信息导入进去：

现在，我们观察一下这个式子：右面的实部，就是我们的正弦量（其实加上虚部也没关系，因为这里实部和虚部是一一对应的，我知道了正弦量的三要素，我照样可以写出虚部的表达式，也就是说右边的信息本质上就是我们的正弦量）。

而左边，则是我们接下来要研究的重点对象，我们找恒定量、建立与向量关系的大任都寄托在左边的式子上了，先变一下形（利用指数的运算规律）：

观察这个式子，哪些因子是能够体现出我们正弦量恒定的东西？最起码，这个东西肯定不含时间t，那么，取前面的

这一部分，是不是就可以了？

那么在此，细心的朋友肯定会问，ω呢？难道不要了么？

大家不要忘记这样一个事实：我们的正弦交流电路里，角频率往往都是一样的，为什么？因为同频率正弦量的代数加、 微分、积分，其结果仍为同频率的正弦量。 只是幅度和相位发生了改变。 Fm和相位是两个经常变化的量，不老实，得随身携带着，对于这个ω，如果你也把它带着，理论上也没什么不可以，但是，如果你知道ω的值，那它就确定下来了，何必到处带着它呢？你带上了它，进行运算的时候，势必最后左右消掉，那么带不带它的意义就不大了吧，这就是为何我们舍去这个要素的原因，就是它和另外两个不一样，它是是顽固不变的。

好，现在我们终于提取出了最最纯粹的恒定值，圆满完成了我们第一个任务，至于怎么转换成向量那是之后的事情，现在可以给它加冕了——首先，我们给它找个符号，用

来表示它，即

接着，我们给它一个简记形式，把

简记为

最后，给它起一个名字，叫相量。

加冕仪式完成，下面就是相量发挥它作用的时候了。事实上，此时此刻的相量完全可以当作一个向量来进行运算了，不信你看：

我们再利用那个神奇的欧拉公式：

还是那句话，实部和虚部本质上包含的信息量是一样的！可以互推噢！

这里说明一下：之前遇到许多同学，他们一看到虚数单位j就瑟瑟发抖，纳闷电路里为什么会有复数呢？其实，电路里面，电流也好，电压也好，不管你是支流还是交流，都是一个切切实实的实数，每一个时刻都对应一个切切实实的实数，至于虚数单位j，那纯粹是我们为了简化正弦量的运算过程中不得不引入的一个量，谁愿意往里面加入复数呢，还不是不得已么，你想用欧拉公式，虚数j不得不引入啊。再者，正弦量和它的相量虽然是一一对应的，但两者绝不是相等的，两者的性质有着根本区别，因此，经过抽象后的相量中虽然含有j，但是并不代表我们真正的时域中的电流电压中含有j。

到此为止，我们刚才提到的两个目的都达成了！

总结一下：我们想建立正弦稳态电路和直流电路的关系（毕竟后者我们是很熟悉的），就要在正弦稳态电路中提取一个恒定的东西，而且这个东西容易计算，我们想到了向量，进而想到了复数，于是利用欧拉公式将正弦量变幻成了复指数函数的形式，变换后提取不变的东西，舍去变化的时间t以及到处都一样的ω，最后得到的东西就是相量，有了相量，就可以用它进行向量的线性运算，即把三角函数的线性运算转化成向量的线性运算。

问题解决！

整个过程，我们用到了下面的思维模型：

后面的故事：我们知道，研究交流电，有效值往往比幅值更加常用，既然幅值与有效值的关系是一一对应的：

那么我们就可以用有效值相量（把原来相量中的振幅替换成有效值）来更好的描述正弦稳态电路，而且有效值相量更为常用，一般提到相量，若不加说明，往往指有效值相量。

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