微分方程定义： 联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。为了定量研究一些实际问题的变化规律，要对所研究的问题进行适当的简化和假设，建立数学模型，当问题涉及变量的变化时，该模型就是微分方程，下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程。
在自然科学中和经济的许多领域中，常常会遇到一阶常微分方程的初值问题。
y'=f(t,y) a≤t≤b (1.1)
y(a)=η
此处f为t,y 的已知函数，η是给定的初始值，y(a)=η 称为初始条件。
如果f(t,y)是带形区域R={(t,y)|a≤t≤b,-∞<y< ∞}中连续，且关于y满足Lipschitz条件，存在常数L，使得
|f(t,y1)-f(t,y2)|≤ L|y1-y2| (1.2)
对所有的t∈[a,b]以及任何y1,y2都成立，那么初值问题(1.1)存在唯一的连续可微解y=y(t).
在许多实际问题中，微分方程的右端f(t,y)以及初始值η常常是由观察测得到的，因此我们除了保证初始值问题有解外，还必须保证它是适合的，即当η和f(t,y)有微小摄动时，只能引起初值问题(1.1)的解的微小变动。更确切的定义如下：
假设初值问题(1.1)有唯一y=y(t)，如果存在正常数K, ε使得对任何ε1≤ε，当
|η1-η|<ε 以及 |δ(t)|<ε, a≤t≤b
此时，摄动初值问题：
z'=f(t,z)+δ(t) , z(a)=η
有唯一解z(t)，并且满足：
|y(t)-z(t)|≤kε
那么称初值问题(1.1)是适当的。
定理2
如果f(t,y)在R={(t,y)|a≤t≤b,-∞<y< ∞}中连续，且关于y满足Lipschiz条件连续，且关于y满足Lipschitz条件，那么初值问题(1.1)是适当的。这条定理在光学中怎么应用？
在照明光学设计中，根据自由曲面表面法线求解表面数据，其过程即为微分方程的求解。而此微分方程，符合定理1的条件。
一般，若无特别申明，我们总假定初值问题(1.1)满足定理1的条件，从而它有唯一的连续可调的解，并且它是适定的。
以上定理1、定理2，繁琐的描述，均是数学学科的严谨性所致，为了限定此方法的适用范围，为了保证常微分方程数值解法的正确性和严谨性。实际中遇到的问题，基本都是在定理1、定理2所限制的范围之内。
fdsadfdsid 发表于 2017-1-13 10:21
6.1 引言
在自然科学中和经济的许多领域中，常常会遇到一阶常微分方程的初值问题。y'=f(t,y) a≤t≤b ...
lipschitz条件：利普希茨连续条件（Lipschitz continuity）是以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比一致连续更强的光滑性条件。
若存在常数L， 使得对定义域D的任意两个不同的实数x1、x2均有：
|| f(x1)-f(x2) ||≤L|| x1-x2 ||利普希茨连续条件（Lipschitz continuity）是以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比一致连续更强的光滑性条件。直观上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于利普希茨常数。
在微分方程理论中，利普希茨条件是初值条件下解的存在唯一性定理中的一个核心条件。 一些特殊的利普希茨函数，例如压缩映射，被应用在巴拿赫不动点定理中。
在实际问题中，所得到的初值问题往往不能求得它的解的解析表达式，只能得到它的近似解，求初值问题(1.1)的精确解y(t)，在一些列离散点：
t1,t2........,tn
处的近似值
y1,y2.......,yn
用y(tn)表示y(t)在t=tn处的值，则yn为y(tn)的近似值，n=1,2,....N。这样我们把一个连续型问题(1.1)化为一个离散问题。这个过程称为离散化过程。
我们取离散点为
tn+1=tn+hn
t0=a
hn称为步长。通常取hn=h，即离散点 t0,t1,t2........,tN, 为等距的，
此时
tn=a+nh, n=0,1,...,N
Nh=b-a
例1
初值问题1.1中的初值条件y(a)=y(t0)=η是给定的，因此可以算出我们用差商
[y(t1)-y(t0)]/h
近似的替代y(t)在t=t0处的导数y'(t0)，即
y'(t0)=[y(t1)-y(t0)]/h
于是，
y(t1)≈y(t0)+h*f(t0,y(t0))
记住y0=y(t0)=η,则可取
y1=y0+h*f(t0,y0)
作为y(t1)的近似值，再利用y1及f(t1,y1)，取
y2=y1+h*f(t1,y1)
作为y2(t2)的近似值
一般取：
yn+1=yn+hf(tn,yn), n=0,1,2,3.....N-1
其中y0=y(t0)=η
作为y(tn+1)的近似值。
通常方程
F(tn,yn,△yn△^2yn,...,△^kyn)=0
称为一个K阶差分方程
(2.1)式可写成
△yn=hf(tn,yn)
它是一个一阶差分方程。
以上推到说明，离散化过程，把微分方程初值问题(1.1)化为一个差分方程初值问题 然后求差分方程初值问题的解yn作为微分方程初值问题的解y(t)在t=tn处的近似值。这样的离散变量方法又称为差分方法，
(2.1)是初值问题(1.1)的Euler方法的计算公式
关于离散化方法，通常有三种差商代替导数的方法，Taylor级数法和数值积分法。
（一）差商代替导数的方法
我们用差商近似地替代微分方程(1.1)中的导数，从而把微分方程初值问题化为一个差分方程初值问题。在(2.1)公式的推到中就是采用这种方法导出Euler方法。
（二）Taylor级数法
我们假设处置问题(1.1)满足定理1的条件，且函数f是足够次可微的，根据Taylor公式，有：
（2.6）是一个一阶差分方程，因此我们把求解微分方程初值问题(1.1)化求解差分方程初值问题（2.6）。
由于初值问题（1.1）的精解y(t)满足（2.5）式，因此我们称
[attach]5746[/attach]
为数值方法（2.6）的局部离散误差，或局部截断误差，假如yn=y(tn), 据（2.5）和（2.7）式可知
y(tn+1)=yn+1+Rn
因此，局部离误差（2.7）表示yn=y（tn）为精确时，利用（2.6）计算y(tn+1)得近似值yn+1的误差，据（2.7）式，我们有:
Rn=O(h^p+1)
假如yn 是在无舍入的误差的情形下（2.6）计算的微分方程初值问题（1.1）近似解，则称：
εn=y(tn)-yn
为数值方法（2.6）的整体离散误差
取p=1时，（2.6）便可写成
[attach]5747[/attach]
这又导出了Euler方法，其局部离散误差为：
[attach]5748[/attach]
取p=2时，（2.6）便可写成：
[attach]5749[/attach]
其局部离散误差为：
[attach]5750[/attach]
（三）数值积分方法
对微分方程
y'=f(t,y)
在区间[tn,tn+1]上求积分得：
[attach]5751[/attach]
若（2.9）右端的积分的被积函数f(t,y(t))换成它的插值多项式，或对(2.9)式右端积分使用数值积分公式，我们将得到解初值问题(1.1)的数值方法。
[attach]5761[/attach]
这样，求解初值问题(1.1)便化为解差分方程初值解问题(2.10)。我们称2.10位梯形方法。它的局部离散误差位
[attach]5762[/attach]
离散变量法可分成单步法和多步法，解初值问题(1.1)的一个离散变量法称为单步法是指，在其计算公式从初始值。
y0=η出发，依次计算y1,y2,y3....的过程中，计算yn+1时，仅仅需要用yn+1时仅仅需要用到yn，例如在$2节中提到的Euler犯法和提醒方法都是单步法，若计算yn+1时要用到yn,yn-1,yn-2.....yn-k+1 的值，则称此方法为k步法。
这一节，我们将介绍微分方程初值问题的离散变量法中一些常用的单步法，并讨论与之有关的问题，求解初值问题（1.1）的单步法的一般形式可以表示成：
[attach]5763[/attach]
其中Φ为某一函数，称为增量函数，N是一个正整数，h=(b-a)/N 。（3.1）的右端仅出现yn，yn+1和增量函数明显地计算得。我们称为（3.1）为显示方程，例如Euler方法。
（3.2）的右端不仅出现yn，而且在增量函数中还隐含yn+1，这样的方法，称为隐式方法，例如梯形方法。
6.3.1 Euler方法
Euler方法实际上已经很少用了，但是因为它的概念简单，易于分析，并且它的误差和稳定分析较为典型，因此我们再来讨论Euler方法，在（3.1）中，取Φ(t,y,h)=f(t,y)使得到Euler方法：
[attach]5765[/attach]
N是一个正整数，h=(b-a)/N。据(3.3)式，从y0=η 出发，可依次计算出y1,y2,y3...,yn,他们分别为初值问题（1.1）的解y(t)在t1,t2,...tn值
y(t1),y(t2),....y(tn)的近似值，其中t0=a,tn=a+nh,n=0,1....N.
Euler方法的计算如下
算法6.1 应用Euler方法计算初值问题
y'=f(t,y) ,a≤t≤b
y(a)=η
的解y=y(t)在区别[a,b]上的N个等距点的近似值，输入端点[a,b]；区间等分数N；初值η，输出y(t)在t的N个点近似值y。
step 1
[attach]5766[/attach]
Euler方法有明显的几何解释(10.1).
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