第11章 自由曲面透镜设计
自由曲面透镜，在照明设计中，应用十分广泛。本章节，主要以LED路灯透镜为例，介绍了自由曲面透镜的设计原理和方法技巧。LED路灯设计透镜的要求，从最初的等照度变更为等亮度，要求上发生了变化，而设计、建模方法是相同的。自由曲面路灯透镜，及其他照明中应用到的自由曲面透镜，其设计原理、方法均一致，即建立适当模型，控制介质表面法线，从而控制折射光线的传播方向。而其表面数据的计算，应用的数学方法均为：求解法线方向的矢量方法和法线微分方程求解。矢量及数值方法相关知识，已在基础知识章节讲述。本章主要讲述其应用。为照顾对数学知识较为生疏的设计师，数据的求解过程，尤其是微分数据解法的讲解，选择几何意义明确的数值解法，作为重点讲解。微分方程的数值解法中，欧拉法和欧拉改进法具有明确几何意义。此两种方法，均可通过作图明确演示其中过程和意义。改进的欧拉法较欧拉法而言，有较大的收敛半径，更为准确。因此，选取改进的欧拉法作为详细的讲解方法。以方便仅掌握高中课程中平面几何知识或者仅掌握机械软件制图的设计师，学习并运用。数学基础较好的，对于龙格库塔法或其他数值方法，可参阅数值分析相关的专业书籍。自由曲面透镜的设计步骤，大致可以分为以下几个部分：1 光通量计算与路面分隔2 透镜网格划分及入射、出射光线矢量求解、法线向量求解；3 表面轮数据计算及建模本章以路灯透镜为例，详细讲解自由曲面透镜的求解方法。 11.1 光通量计算与路面分隔11.1.1 光通量计算
一般LED配光曲线为朗伯分布。朗伯分布，即光强度为发光角度余弦函数，即：I=cosθ (11.1)朗伯分布的配光曲线图如图示：
根据配光曲线，通过积分运算，可以计算出各个角度包含的光通量。11.1.2 路面分隔路面分隔可采用两种分隔方法：等角度或者等光通量分隔。也可以采用两种方法之外的、设计师本人比较喜欢的，其他的分隔方法。等角度分隔在书写计算程序计算程序时较为方便，此处以等角度分隔为例讲解。光通量的分配依据、方法不同，又可产生不同的配光曲线和照度分配。在此以等照度设计要求为例，对光通量路面进行分隔。其他照明要求，如等光强，可在等照度路灯透镜的基础上，通过调整出射光线的方向即：路面分隔。以获得所需照明效果。如图11.2所示：令透镜中心凹面为圆弧，光源光线可垂直于界面进入透镜。图中，两出射光线与垂直轴夹角分别为a1，a2；根据光通量计算可知，角度a1和角度a2内，包含的光通量之比为sina1/sina2.根据光学基本原理，可知，为使照度均匀，出射光线对应的路面间距分配关系应为：sina1/sina2=d1/d2 (11.3)
照度定义为光通量与面积的比。而式11.3，比例关系为光通量与线段的关系。此处，因为在积分计算光通量时，积分的角度为平面角，并非照度定义时使用的立体角。因此平面角度积分计算出来的光通量，对应的路面分隔，应为路面长度，面非路面面积。对此仍有疑问的，可以通过数学推导验证，也可以在软件中建模仿真验证。
11.2 法线向量及表面数据求解
为求解自由曲面数据的，需将透镜表面进行网格划分。合理的网络划分，不仅可以简化设计，也将提升建模的准确性。UV分隔方法和旋转交叉分隔方法，见诸于某些自由曲面设计的论文。
交叉分隔方法容易造成各轮廓之间的影响，造成透镜建模完成之后，光线传播与原先设想发生较大偏差。且此种分析方法，两个垂直方向发散角度差距不能太大，因此路灯透镜设计，大多数采用UV分隔方式。本章路灯透镜设计方法的讲解，采用UV分隔方法，分隔方法如图11.4所示。W1线控制沿路面方向的光线发射角度;W2、W3，W4控制垂直路面方向光线发散角度。依据图11.4示，对路灯透镜表面分隔之后，即可根据出射光线分隔，依次求出入射光线向量、出射光线向量和法线向量了。求解方法在后续详细讲解。11.2.2 入射、出射光线向量求解。以W1所在平面为例讨论如何求解入射光线向量。如图11.5示，建立直角坐标系。与垂直轴夹角为a1光线，所在传播方向向量为：(sina1,-cosa1)。（读者在编写计算程序时，可根据需要或习惯，重新建立坐标系，建立新的坐标系时，入射光线向量的书写会发生变化。这里仅以图示坐标系为例讲解向量求解方法。）前面章节已分析，为获得照度均匀的光斑，路面分隔需依据：sina1/sina2=d1/d2进行分隔。
路面分隔完成之后，即可书写出射线向量。假设路灯距地面高度为h,A点坐标为（xa,ya）则出射光线AB所在向量为：（d1-xa,-h+ya）式中，(xa,ya)为未知量如图11.6所示，路灯悬挂高度较高，路灯透镜尺寸相对路灯悬挂高度h而言，为微小量，完全可以忽略不计，因此，出射光线向量可以书写为：（d1，-h）11.2.3 法向量的求解已知入射光线、出射光线，求解法线的方法比较多。可直接根据折射率定律的表达式，利用代数方法求解。也可以采用向量法求解。代数求解的方法比较麻烦，公式复杂，不利于书写计算程序，也不具有向量方法的直观性。因此这里仅讲解求解法线的向量方法。此种方法有显而易见的几个意义，方面数学基础较差的采用绘图方法，求解法线。如图11.7示：已知入射光线和出射光线，以及两介质折射率n和n'。延长入射光线，使线段OA长度与线段OB长度之比为n：n'时，连接AB，向量AB方向即为法线向量方向。下面对以上结论进行推导。如图11.7所示，根据三角形角与对边的关系可知。sinOBA/OA=sinOAB/OB 又:<1=<t ; <OAB+<1=180°；<OBA=<i' ;可得：sinl'/OA=sini/OB;根据折射定律：n*sini=n'*sini' ;即证。设入射光线向量为Nin ,出射光线向量为Nout ,法向量为Nf, 且出入射光线向量已知。本章11.2.2小结已讲述如何求解Nin与Nout。
11.2.4 包络线求解法线与切线相互垂直。法线向量已知，切线方向即可求出，即曲线在某位置的导数已知。因此，在通过出射光线、入射光线向量，求解出法线向量之后，即可根据微分方程的数值方法求解，依次求解包络线的轮廓点。具体数值方法，可采用欧拉法、龙格库塔法等常用微分方程求解方法。数值解法已在数学基础章节讲解，具体公式和步骤可参阅前面章节。
欧拉法与改进的欧拉法，均可由作图表示出来。龙格库塔法采用作图法则较为繁琐。而欧拉法较牛顿法有更大的收敛半径，更为准确。
为便于理解、掌握轮廓点的求解方法，本节重点讲述一种类似于改进的欧拉法的、简单易行的作图求解方法，在编程计算轮廓点数据时，也可采用此方法。
如图11.9所示，A点为已知，因为可根据透镜尺寸要求事先给出。这与求解微分方程时，给出原函数在某点的数值时同样道理。如果没有起始点A点的坐标，是无法根据法线向量依次求出轮廓点的。光线1沿垂直方向。未发生偏折，直接出射，因此A处法线方向与垂轴方向平行；光线2发生偏折，入射及出射光线方向已知，因此A处法线方向与垂直方向平行；光线2发生偏折，入射及出射光线方向已知，在求解法线时，未知轮廓点，假设B'点为轮廓点，根据前述求解法线向量的发法线向量的方法，绘制出法线向量Nf：因A点处，法线向量为垂轴方向，在A点处附近，轮廓线沿水平方向运动。因此，过A点作与A点处法线垂直的直线，再作光线1和光线2的角平分线，两直线交与C点，C点为过渡点；据此方法，可依次求出轮廓点坐标。也可根据以上绘图过程，书写数据计算程序。仅需简单的几何知识，即可一次求解出自由曲面轮廓线数据。求解方法和公式请参照《空间几何》一章，直线交点的求解。轮廓点计算时，入射光线分隔份数较少，容易出现轮廓线数据计算不准确的问题。不论在绘图求解或编制求解程序时，都应当注意此问题。以图11.9中所示情况为例；假设透镜中心的准确设计造型，应为凸起形状。如果光线分隔角度过大，也就是数值计算时的步长，选取过大时，中心将变得平坦，汇聚效果降低。光线经透镜处理之后，将出现光斑中心实际照度比设计预估值偏低的情况。以上求解过程，以W1和W2为例讲解。W3和W4及其他倾斜方向的包络线求解，方法和步骤基本和W1、W2一致，差别在于：1、其他包络线的求解，初始点即计算起点A的坐标需在W1求解结束之后，才能确定，2、因偏转，W3、W4及其他包络线对应的光线发光角度，与W2相比角度变小，如图示，<COD小于<AOB.因此，应先求解W1包络线，之后依次求解其他包络线数据。在求解过程中，出射光线向量需按照实际情况调整。每个包络线的求解方法、步骤基本一致，差别仅在于出射光线量的调整。为了简化设计，可将W3及其他包络线旋转至W2处，依据W2包络线求解方法，求出数据之后，再旋转，回到原来的位置。包络线计算之后，下端点并不重合，需要对已获得的轮廓进行处理，以使其下部共点，以便达到透镜可以建模的目的。处理方法、途径很多，保证轮廓线连接平滑，下部共点即可。其实，即使处理之后，轮廓线连接平滑且下部共点，形成的路灯透镜下部也不是平滑的，具体原因，后续章节会详细说明。在做路灯设计时，由于注塑加工的需要，下部不平滑且对脱模造成困难的部分，可以切除掉，对光效影响并不大。
但是产生自由曲面表面不平滑的原因，还是要着重讨论一下的。以备以后其他自由曲面设计出现不平滑，而又不能切除时，可以找出根本原因，解决不平滑的问题。11.2.5 偏光透镜设计如11.14图示，偏光路灯透镜中心射出光线将发生偏转。计算偏光路灯轮廓线时，与非偏光的差别在于出射光线方向的调整，其余均相同。
11.3 存在的问题
路灯自由曲面透镜设计方法介绍到这里，已经可以按照上述步骤，计算路灯透镜初始数据，建立模型并追迹光线，根据获得照明效果修改原路灯透镜模型，并最终获得需求光效。
在设计大发散角度，或偏光透镜时，尽量采用两个面型共同承担角度的偏折，减小光线在某一面上出现过大的偏折角度。以降低反射光线增强或者全反射的出现，尤其是蓝光的全反射，将造成黄斑的出现，相关光学原理请参照介质表面光通量分配一节。
等照度等亮度的转换，可以通过调整光通量和路面分隔实现。
总之，依据几何光学原理及设计经验，通过不断地修改，可最终获得满意的光学效果。
然而，上述设计方法仍存在很多问题。路灯设计这个实现特定的问题通过简化手段，不断的尝试、试错，最终得到了解决，但是自由曲面设计的理论，还需要进一步完善和推进。毕竟以后将有更多、更高要求的自由曲面设计在等着照明光学设计师。
1、包络线计算方法存在的问题
在本章8.2.4节讲解包络线的求解时，将W3、W4以及其他包络线、旋转至W2所在平面内，按照与求解W1、W2相同的方法，求解其他包络线。这个简化步骤其实是存在问题的。
如图示，W5轮廓所处平面内的入射光线，经W1与W5共同确定的路灯表面折射之后，出射光线已经不在W5所在平面内。而前面章节采用的简化方法，有一个默认的假设，出射光线与求包络线共面。
此问题的解决，可依据向量的向量积概念，通过转换，得到处于W5所在平面内的W5的法线向量。
如图11.16示，设W5所在平面法线为N1.通过出射光线和入射光线求解出的法线为N2，则：N3=N1xN2为平面P内，过A点的W5切线；处于平面P内，过A点的W5的法线N4，与P平面的法线N1以及N3垂直。N4=N1xN3。
通过以上转化，即可将平面外法线转换至平面内，再按照11.2.4节方法，对平面进行旋转，并求解包络线数据。
2 透镜不平滑问题 《高等数学》中提及：函数连续性。y=f(x)的不连续性，有可能会造成函数z=g(y)的不连续。有关函数连续性的严谨描述和相关知识，可参考《高等数学》。
路灯透镜表面的不平滑，究其原因，是因为路面分隔问题造成的。
如图11.17的路面分隔，造成了从O点出发的光线，既需要投射到B点，又需要投射到D点。而一条光线，经过一个平面的折射，是不可能实现此种效果的。这种分割方式，最终造成透镜的表面不平滑。
那么，应该如何分割呢？路面分割，可以采用类似电磁场分布的模式。如图11.18所示，带箭头的线条为电场线，无箭头线为等势面。路面分割可依据图中带箭头实线和无箭头虚线进行分割，也就是说将原来的横向和纵向分隔，转换为图11.18示的分割方式，上图中垂直路面，分隔的线段条，对应到下图中的蓝色实线。沿着路面方向的分割线对应到图中的红色虚线。这样，就能解决了从O出发的光线，被割裂的问题。图11.18所示，对路面进行分割线条的确定，涉及到；拉普拉斯方程的求解。有兴趣的可以对此做一重点学习和研究，或许还需要学习复变函数的知识，以用于求解拉普拉斯方程。而仅为解决设计中的不平滑问题，可以直接参照大学物理中电磁场的分布公式，大学物理讲解电磁场分布的更为简单的求解办法，即：根据库伦定理和向量知识求解。有兴趣的，可参考相关书籍。 11.4 小结
编程计算数据或者绘制计算出来的初始数据，并不能以此解决所有问题。可参考车灯软件lucidshape 的设计思路和方法，建立初始模型，追迹光线验证光效之后，根据光学效果，反复修改出射线方向，分配光线并重新建模，直至满足实际设计要求。反射面自由曲面的设计，也可以依照以上步骤设计完成，差别仅在于法线向量的求解，透镜的设计，利用折射定律；反射罩的设计，利用反射定律。
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