第9章 菲涅尔透镜
9.1 球差即菲涅尔透镜原理菲涅尔透镜（螺纹透镜）的设计思想是将透镜分成若干个具有不同的环带，使通过每一环带的光线近似汇聚在同一像点上。
在大孔径的照明系统，采用菲涅尔透镜（螺纹透镜），来代替单透镜或二次曲面透镜，可以减小透镜的质量和厚度，并在一定程度上减小球差（即不同入射高度的光线，镜球面投射之后，不汇聚于同一点的现象）。
既可校正球差，又可减小透镜的重量和厚度。这在大口径的照明系统中是非常重要的。基于以上优点，菲涅尔透镜在航空障碍灯、汽车信号灯等灯具中均有大大量使用。
9.2 菲涅尔透镜计算公式（代数设计计算法）
下面介绍求出满足照明或成像要求的每个环带的曲率半径以及它们之间的相对位置的方法。
计算公式如下：
如图9.3所示，D为菲涅尔透镜直径，d为基面厚度，φ为通光孔径。螺纹透镜的玻璃折射率为n。
设点光源在A1处，距离透镜第一个面为L1，要求经菲涅尔透镜后，光线汇聚（或成像）于A'处，与菲涅尔透镜的距离为L2'，即：从基面到A'面的距离为L2'，即：从基面到A'的距离。因透镜处于空气中，所以有
n=n'=1
下面推导计算公式
从图中可以看出：
tgU1=h/L1
式中L1是设计前给定的，h需要估计确定。
确定第一环h值的原则是保证（D/2-H1）值有足够大的尺寸，例如光线在第一个面（平面）上，有以下关系：
9.3 四环菲涅尔透镜设计
该透镜用于远距离聚光照明用。光路如图9.4所示。
设菲涅尔透镜的直径为D=200mm
光源A距离第一面距离L1=-300mm
基面厚度d=5mm
通过光孔径φ=186mm
透镜材料折射率n=1.477
1、确定各环带透镜的曲率半径为R，具体计算过程及数据如表9.1所示。
计算中关于像方汇聚角U2'和光线在第一个面上的投射高h的确定，说明如下：
1）关于像方汇聚角U2'的确定，由公式：
其余各环高度h2、h3 ...，可用作图法近似确定。该方法介绍如下：
通过第一环计算后，已经得到该环对应的下列各值R,H,p,L'1。由于各环透镜的曲率中心O及相距L'1相对变化很小，因此近似认为不变。
如图9.5所示，我们将第一环的R,H,p,L'1各值在图中按此比例作出，得到N'T1。然后根据环数将N'T1等分。例如在本例中，将N'T1四等分，并以O1为圆心通过各等分点作同心圆，与通过N'的垂线相交得到其余各环带的高H2、H3、H4的值，然后从A'1点作H2、H3、H4各高度端点之连线，此连线与第一表面的交点，到光轴的距离即为h2、h3、h4的值。
实践证明，该方法在设计中十分有效的。它不但可以迅速地确定各个h值，同时通过作图可检查环数是否选得恰当，厚度、齿高是否协调以及中心环带的大小是否合适等问题。
2、各环齿形的确定
根据计算出的R,H,p,L'1值，做出菲涅尔透镜的几何图形
为了减少非工作面（齿的斜边）折射、散射、的影响，我们通过平面折射后的光线方向确定各齿的斜边。如图9.6中过A'1的位置变化不大，因此在实际工作中，可以取不同环带的A'1的平均位置为共同的出发点，做各高度H的断点的连线来确定各环带的齿形的斜边（非通光面）。
9.4 与设计有关的几个问题
（1）菲涅尔透镜的球差校正问题，如前所述，螺纹透镜是一种重量轻而相对孔径大的消球差透镜。事实上根据前面设计的过程可以看出，它也仅仅是对特定的几个口的光线，即对应高度H1、H2、H3、H4等点出射的光线汇聚在一点A'。而每个环带上的其余光线，与在单位透镜的情况下一样，仍在球差。不过由于环带透镜可以看成是具有同样曲率的单透镜的一小部分，因而它的实际球差要比单透镜小得多。这里很自然会想到，适当增加菲涅尔透镜的环数，即减小每环透镜的宽度，可以减小球差值同时带来减小透镜厚度的散射加剧。依次根据实际需要。合理的确定环数是十分重要的。譬如，以收集光能量为主要功能的照明系统中，环数应适当减少，而在照明均匀度或垂直度要求较高的情况下，可适当增加环带数量；特别要求透镜轻薄，或用于放大镜时，应增加环带数量。（2）关于物距L1的选取：光源离透镜的距离L1值，直接影响到光能的利用率。它决定了输入光束的包角大小。 当菲涅尔透镜通光口径φ不变时，L1值越小，则光束包角2U1越大，光能利用率越高。因此适当缩短L1值时有利的，但应注意到，过分的缩短L1值，超过一定限度，就不能有效提升光能利用率了。 原因如下：1）折射表面对光线的偏折角度是有限制的；2）介质表面入射角度太大（则光密到光疏介质的入射角也增大），表面反射率将增强，光密介质到光疏介质时，有出现全反射的可能性。以上两个原理，在几何光学章节中已有详细讲述。 9.5 菲涅尔透镜的向量求解法
上述：利用折射定律的代数表达式n2*sinI2=n'2*sinI'2，求解菲涅尔透镜结构尺寸的方法，步骤繁琐，且不直观。
以将点光源发出的光线汇聚为平行光为例，利用向量及折射定律，讲述求解菲涅尔透镜结构参数的向量方法。
如图9.7所示：环带高度H和L确定（具体确定方法，参考前面论述），则N3可求出：
求出法线N0的矢量方向。法线与x轴交点，即为高度H对应的球面的圆心O。以O点为圆心，过A点画圆，即可求出菲涅尔透镜其中一环。
以上利用向量求解菲涅尔透镜的过程，可根据几何光学一章的绘图求解折射光线与法线的方法，不采用任何计算公式，仅利用机械软件绘图，得出菲涅尔透镜参数，并建立菲涅尔透镜模型。
9.6 简易方法
菲涅尔透镜的设计，也可通过操作照明光学软件，在软件中通过不断尝试的方法，直接建立模型。
简要介绍如下：
1、根据设计要求确定焦距之后，在光学软件了设置格点光源，调整曲率半径，使中心区域球面透镜焦距满足焦距要求。插入接收面，标定焦点位置。
2、插入第二个透镜，使第二个透镜与第一个透镜的第二面平齐。重新按照环带高度，设置格点光源，追迹光线。如图示：光线汇聚于焦点A之后的A'点。说明第二透镜的曲率半径偏大，欲使光线汇聚于焦点A，应减小第二透镜的曲率半径。
3、调整透镜的曲率半径，追迹光线，使光线汇聚到焦点处为止。重复以上步骤，确定其他环带的曲率半径。
4、截取各环带需要的球面透镜部分，组成最终的菲涅尔透镜，并追迹光线验证。
也可以通过对非球面消球差透镜，同比缩放的办法，获得各环带；也可以直接在lucidshsp软件中，通过设置光源位置、发光角度，直接获得菲涅尔透镜模型。
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