第4章:空间解析几何与向量代数
在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题。空间解析几何也是按照类似的方法建立的。本章，先引入向量的概念，根据向量的线性运算建立空间坐标，然后利用坐标讨论向量的运算，并介绍空间解析几何的有关内容。4.1 向量及其线性运算4.1.1 向量概念4.1.2 向量的线性运算1. 向量加法运算
向量的加法运算规律如下：
设有两个向量a和b，任取一点A，作AB=a，再以B为起点做BC，连接AC，那么AC=c，称为向量a，b的和，即c=a+b
4.1.3 空间直角坐标系 在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i，j，k，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为X轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称坐标轴。
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面，另两个由y轴及z轴和由z轴及x轴所确定的坐标面，分别叫做yOz面及zOx面。
4.1.4 利用坐标作向量的线性运算
4.1.5 向量的模、方向角、投影
2. 方向角与方向余弦
上式表明：以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e，并由此得。 4.2 数量积 向量积
4.2.1 两向量的数量积
设一物体在恒力F作用下沿直线从点M1移动到M2 ，以s表示位移M1M2，由物理学知道，力F所作的功为
W=|F|*|s|*cosθ其中θ为F与s的夹角。
4.2.2 两向量的向量积在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩，下面就举一个简单例子来说明表达力矩的方法。设O为一根杠杆L的支点，有一个力F作用于这杠杆上P点处，P与op夹角为θ，由力学知识，力F对支点O的力矩是一个向量M。它的模为|M|=|OQ|*|F|=|OP|*|F|*sinθ
力矩M方向垂直于OP所决定的平面，M的指向是按右手规则从OP以不超过π的角度转向F来确定的，即当右手的四个手指从OP以不超过π的角度向F握拳时，大拇指的指向就是力矩M的指向。这种由两个已知向量按上面的规则来确定另一个向量的情况，在其他力学和物理问题中也会遇到。于是从中抽象出两个向量的向量积概念。
4.3 曲面及其方程
4.3.1 曲面方程的概念
在日常生活中，我们经常会遇到各种曲面，例如反光镜面。管道的外表面以及锥面等等。
像在平面解析结中把平面曲线当作动点的轨迹一样，在空间解析几何中，任何曲面都看做点的几何轨迹，在这样的意义下，如果曲面S与三元方程：
F(x,y,z)=0 (1)
有下述关系：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）
（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1）
那么。方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的图形（4.28）
4.3.2 旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。设在yOz左边面上有一已知曲线C，它的方程为：f(y,z)=0
把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面（4.30）。它的方程如下：设M1(0,y1,z1)为曲线C上的任一点，那么有f(y1,z1)=0(3)
当曲线C绕z轴旋转时，点M1绕z轴旋转到另一点M(x,y,z)，这时z=z1保持不变，且点M(x,y,z)到z轴的距离：4.3.3 柱面
我们先分析一个具体的例子，
方程x^2+y^2=R^2表示怎样的曲面呢？
方程x^2+y^2=R^2在xOy面上表示圆心在原地O、半径为R的圆。再空间直角坐标系中，这方程不含竖坐标z，即不论空间点的竖坐标z怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y能满足方程，那么这些点就在这曲面上，这就是说，凡是通过xOy面内圆x^2+y^2=R^2上一点（x，y，0），且平行于z轴的直线，都在这曲面上，因此，这曲面可以看作是由平行于z轴的直线l沿xOy面上的圆x^2+y^2=R^2移动而形成的，这曲面叫做圆柱面（图4.3.4）。
xOy面上的圆x^2+y^2=R^2叫做它的准线，平行于z轴的直线l叫做它的母线。（准线是不动的，母线是移动的）
一般的，直线l沿定曲线C平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线l叫做柱面的母线。上面我们看到，不含z的方程x^2+y^2=R^2在空间直角坐标系中表示圆柱面，其母线平行z轴，它的准线是xOy面上圆x^2+y^2=R^2。类似的，方程y^2=2x表示母线平行于z轴的柱面，它的准线是xOy面上的抛物线y^2=2x，该柱面叫做抛物柱面（图4.35）一般的，只含x，y而缺z是xOy面上的曲线C：F(x,y)=0( 图4.37)4.3.4 二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程F(x,y,z)=0所表示的全民称为二次曲面，可得他们的标准方程。下面就九种二次曲面的标准方程来讨论二次曲面的形状。（1）椭圆锥面(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=z^2以垂直于z轴的平面z=t截此曲面。当t=0时，得一点（0,0,0），当t≠0时，得平面z=t上的椭圆。(x^2)/(at^2)+(y^2)/(bt^2)=1当t变化时，上式表示一组长短轴比例不变的椭圆，当|t|从大到小并变为0时，这组椭圆从大到小，并缩为一点。综合所述，可得椭圆锥面（1）的形状如图4.3.9所示。
平面z=t与曲面F(x,y,z)=0的交线称为截痕。通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法。我们还可以用伸缩变形方法来得出椭圆锥面（1）形状。先说明xOy平面上的图形伸缩变形的方法。在xOy平面上，把点M（x，y）变为点M'(x,λy)，从而把M的轨迹C变为M'的轨迹C'，称为把图形C沿y轴方向伸缩λ倍变形图C'。假如C为曲线F(x,y)=0，点M(x1,y1)∈C，点M（x1，y1）变为M'（x2，y2），其中x2=x1，y2=λy1，因点M（x1，y1）∈C，有F(x1,y1)=0，故F(x2,y2/λ)=0，因此点M(x2,y2)的轨迹C'方程为F(x,y/λ)=0。例如把x^2+y^2=a^2，沿y轴方向伸缩b/a倍，就变为椭圆(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1（图4.40）。2. 椭球面
3. 单叶双曲面，双叶双曲面，椭圆抛物面，双曲线抛物面
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