第3章：几何光学基本定律
3.1 何谓几何光学光就本质而言是一种电磁波，只是光波长比普通无线电波的波长要短。把电磁波按其波长的顺序排列起来，形成电磁谐波。如图3.1所示：光波波长范围大致为1mm-10nm，其中波长在380nm-760nm之间的电磁波能被人眼所感知，成为可见光。超出这个范围，人眼就感觉不到。波长大于760nm的称为红外光，波长小于400nm的光称为紫外光。不同波长的光产生不同的颜色感觉。同一波长的光，具有相同的颜色，称为“单色光”。由于不同波长的光混合而成的光称为“复色光”。不同颜色的光对应的波长范围如图3.1所示。白光是由各个波长的光混合而成的，是一种复色光。不同波长的电磁波，在真空中有相同的传播速度C=3*10^8m/s，因此不同波长的电磁波的频率不同，频率和光速、波长之间存在以下关系：V=c/λ在透明介质中，如水、玻璃等，光的波长和速度同时改变，但是频率不同。光是电磁波，研究光的传播问题，应该是一个波动传播问题。但是，几何光学中研究光的传播，并不把光看做是电磁波，而把光看做是能够传播能量的几何线。这样的几何线叫做光线，光线发光及时向四周发出无数条几何线，沿者每条几何线向外发射能量。“光线”这一概念是人们直接从无数客观光学现象中抽象出来的。利用光线的概念可以说明自然界中许多光的传播现象，例如我们常见的影的形成、日蚀、月蚀、小孔成像等等。这些现象都可以把光看做光线的概念来解释。目前的很多光学仪器，绝大多数都是应用几个光学原理，把光学看做光线，设计出来的。几何光学研究光的传播，也就是研究这些光线的传播。研究的方法是，首先找出光线的传播的规律，几何光学的基本定律，然后根据这些基本定律研究光的传播现象。在研究过程中，光线和几何线具有完全相同的性质，所以不同的只是光线具有方向，即能量传播的方向。因此，就光线的几何性质来说，光线就是具有方向的几何线。这样，几何光学中研究光的传播问题，就变成了一个几何问题，这就是所以称为几何光学的理由。3.2 几何光学的基本定律几何光学把光看做是具有方向的几何线：光线，从而进行光的传播问题的研究。因此，我们必须首先找出这些光线的传播规律。自然界中光的传播现象虽说是千变万化，但是，如果用几何光学的观点仔细分析，实际上可以归纳为以下两种情况：1、光线在均匀透明介质中传播的规律： 直线传播定律:光线在均匀透明介质中按直线传播：2、光线在两种均匀介质分界面上的传播规律：反射率和折射率。
第一束光透射在两种介质表面上，如图3.2所示：其中一部分光线在分界面上，反射到原来的介质，称为”反射光线“；另一部分光线透射过分界面进入第二种介质，并改变成原来的方向，称为折射光线。反射光线和折射光线的传播规律，就是反射定律和折射定律。为了便于表述这些定律，我们首先引入一下几个名词。入射光线：AO和介质分界面的法线ON间的夹角<AON=I1，称为入射；反射光线OB和法线ON间的夹角<BON=R1，称为”反射角“；折射光线OC和法线之间的夹角<CON‘=I2，称为”折射角“；入射光线和法线构成的平面称为“入射面”。反射和折射定律表述如下:反射定律：1、反射光线位于入射面内2、反射角等于入射角I1=R1
折射定律：1、折射定律位于折射面内2、入射光线和折射正弦之比，对两种一定的介质来说，是一个和入射角无关的常数。SiniI1/SinI2=n1,2n1,2称为第二种介质对第一种介质的折射率至于光不在均匀介质中传播的规律，可以把不均匀介质看作是由无限的多的均匀介质组合而成的。光线在不均匀介质中的传播，可以看作是一个连续的折射。随着介质性质不同，光线传播曲线的形状各异。它的传播规律，同样可以用折射定律来说明。由此可见，直线传播定律、反射定律和折射定律，能够说明自然介质中光线的各种传播现象。它们是几何光学中仅有的物理定律。因此成为几何光学的基本定律。几何光学的全部类容，就是这三个定律的基础上用数学方法研究光的传播问题。3.3 光路可逆和全反射上面介绍了光线传播的基本定律，下面应用这些定律来研究两种重要的现象：光可逆和全反射。3.3.1 光路可逆假定某一条光线，沿着一定的路线，由A传播到B。如果在B点沿着出射光线，按照相反的方向投射一条光线，则此反方向光线仍沿着此同一条路线，由B传播到A。光线传播的这种性质，叫做”光的可逆定理“。根据该定理，当研究光线传播时，既可以按实际光线进行的方向来研究它的传播路线，也可以按与实际光线相反的方向进行研究，二者的结果是完全相同的。无论光线在均匀介质传播，或者在两介质分界面上进行反射和折射，光路可逆定理都成立。因此，无论光线经过任意反射、折射，也不管它通过什么样的介质，上述定理永远普遍成立。3.3.2 全反射在一般情况下，投射在二分界面上的每一条光线，都分成两条：一条光线从分界面反射回来的介质；另一条光线经分界面折射进入另一条光线经分界折射进入另一种介质，随着光线入射角的增大，反射光线的强度逐渐增强，而折射光线的强度则逐渐减弱。设介质n1内的发光点A向各方向，发出光线，透射在介质n1和n2的分界面上，如图：每一条光线都分成一条折射光线和一条反射光线。假定：n1>n2同时根据折射定律：n1sin(I1)=n2sin(I2),得到:I2>I1当I1增大时，相应的折射角I2也增大，同时折射光线的强度逐渐减小，反射光线的强度逐渐增大。当入射角增大到Io时，折射角I2=90°。这时折射光线掠过二介质的分界面，并且强度趋近于零。当入射角I1>I0时，折射光线不再存在，入射光线全部反射，这样的现象称为“全反射”。折射角I2=90°对应的入射角I0称为临界角或全反射角。按照折射定律n1sinI0=n2sin90°=n2得到：sinI0=n2/n1只有当光线由折射率高的介质射向折射率低的介质时，才有可能产生全反射，例如由玻璃到空气，或者由水到空气。由折射率低的介质射向折射率高的介质时，折射角小于入射角，显然不会出现全反射现象。玻璃的折射率不同，由于玻璃到空气对应的临界角也不同。折射率为1.5时，临界角I0=48°48'。随着折射率增大，临界角不断减小，折射率为1.66时，临界角I0=37°3'。
3.4 介质表面的光线分配
光线能量在两介质表面的反射、折射能量分配，与其入射角度有关。
利用电磁场的连续条件可以导出反射波、折射波与入射波的振幅和相位的菲涅尔公式。
此处对公式不做详细讨论，而直接给出结论：
从图3.4 中可以看出，当光线从空气入射到PMMA时，不会发生全反射现象，但是随着入射角的增大，反射率也在不断提升，当入射角度为80°时，反射率约为0.5。
照明光学设计中，利用折射面偏折光线时，一定要时刻注意此问题。将入射光线的入射角控制在60°以内。从图3.5中可以看出，当光线从PMMA入射到空气中时，当入射角大于临界角时，发生全反射现象，将不会有折射光线出射；照明光学设计中，利用全反射表面折射光线时，应保证入射角度大于临界角，利用折射、偏折光线时，应当将入射角控制在35°以内。 3.5 基本定律的向量形式
光线是均有方向的几何线，当然可以用向量表示，基本定律也可用向量公式表示出来。前面讲述的代数形式的折反射定律公式，在计算平面光路时是可行的，但是在求解任意一条空间光线经界面折反射折射后的方向，应用矢量形式的折射定律和反射定律来计算，则更为方面。如图3.6所示：A和A'分别是沿入射光线和折射光线的单位矢量，N是沿法线的单位矢量。设：法线矢量的方式是从入射介质到折射介质，折射定律可写为：n'(A'xN)=n(A0xN)展开并将长度为n'的折射光线矢量和长度为n的入射光线矢量，分别为A'和A，得A'xN=AxN，或(A'-A)xN=0,(A'-A)与N都不可能为零，因此，此两矢量必定是互相平行的，故上式可以表示为：A'-A=PN (P为待定常数)上式两边同与N作点积得：P=N*A'-N*A=n'cosI'-ncosI当n>n'时，P>0,矢量(A'-A)与N正向平行；反之，当n<n'时，P<0，矢量(A'-A)与N反向平行。一般在已知两个戒指折射率和光线的入射角，求折射角时，P可以表达为：得到。且其中的P可更为简化。可得：P=n'cosI'-ncosI=-2ncosI=-2(N*A)矢量形式的反射定律为：A"=A-2N(N*A)
3.6 光线、法线的绘图求解在很多场合下，用图解法追迹光线是完全可行的。这种方法的基础是斯涅尔作图法。具体操作步骤如下：1、以大尺度画出透镜系统2、在同一张纸上适当的地方，以O为中心，画出一系列同心圆，各圆半径分别正比于系统所用的各种材料的折射率，如：空气取10cm，折射率为1.5的玻璃或塑料取16cm半径。3、在透镜系统图上画出入射光线，然后通过O点作平行于这条入射光线的直线，和对应于入射光线所在介质的折射率的圆，交于A点。4、过A点作平行于入射点上的法线的直线，和对应另一种介质折射率的圆交于B点。OB就是在介质B中的折射光线方向。
反射镜的绘图方法较为简单，已知入射光线、法线，对法线做出入射光线的镜像，即可求出出射光线。
已知入射光线和出射光线，也可通过绘图方法，求出法线方向。如图3.8所示，以O为圆心，绘制同心圆，各圆半径之比为光线所处介质材料的折射率之比。延长入射光线，与折射率对应的同心圆，交于A点，折射光线与其折射率对应的同心圆，交于B点，连接AB, AB所处矢量方向，即为介质表面处的法线方向。绘图求解法线，可以认为是利用向量求解法线方法（求解法线的向量方法，将在后续见到）在照明光学设计中，经常会遇到已知入射光线，出射光线，求解法线，并根据法线计算出表面轮廓点。求解法线的绘图方法和向量方法，较利用代数法更为方便，快捷，准确。
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